завещание подойдет если он единственный наследник
если есть еще наследники они могут могут оспорить завещание после смерти и квартиру в полном обьеме он не получит
лучший вариант-договор дарения, который регистрируется в УФРС
если будет договор дарения, но не зарегестрирован там и не получено свидетельство на одаряемого и бабушко отбросит копыта то после смерти договор уже будет недействителен
опять же если бабушко не одна прописана в квартире, а есть еще дедушко, то нужно нотариальное согласие дедушки на то что он не против оформления договора дарения