Ну с хвостом-то я постебался... Не обязательно наличие чёрных волос. Достаточно пигментированых пятен. Вполне вероятно и скорее всего, они есть на верхнем нёбе и дёснах кошки. Вообще довольно редкое сочетание рыже-белого, без явного проявления чёрного, у кошек. Так, что она у Вас, можно сказать уникум!

Усыплять не надо! Это больно для них!
А почему Вы уверены, что аллергоном выступает именно кошка? 11 лет аллергии не было, а сейчас проявилась? Вариант такой, моё мнение, если раньше аллергии не было, а сейчас появилась, то,- либо кошачья шерсть стала катализатором аллергической реакции на на другой аллергон, либо аллергия имеет под собой психоневрологическое основания. Т.е. кошка стала раздражать жену и раздражение нашло косвенный выход в виде аллергической реакции на животное.